Я понял в чем проблема программы.
Она качает только в основную память устройства.
Если ей указать путь, например "/Download/", то она скачает в "/mnt/sdcard/Download/".
Как бы её научить ещё качать на другие тома (на внешнюю SD-карту, например)?
Автор, спаси! 
Лично у меня нет никакой проблемы. Прекрасно сохраняет на SD карту (заменяя старый speedcam).
Путь для сохранения файла - NavitelContent/Speedcams/
Ну не знаю! У меня файл на SD - не переписывается! Пишется при таком указании пути исключительно в основную память девайса! Решить проблему с записью на SD я лично пока не смог! У меня при подключении девайса к компу адрес SD такой: SD-карта\NavitelContent\Speedcams
Если так вбить - то ничего не грузит. Убираю до первого слеша - качает, но не на SD! 
А так - все работает! Спасибо автору!
На самом деле всё просто: программка подставляет в начало путь к внутренней памяти. Поэтому если вам хочется помещать Speedcam в другое место, то надо указывать не абсолютный путь туда, а относительный. Относительный к текущему размещению.
Пример (Android 4.2.2):
При указании
NavitelContent/Speedcams/ файл пишется во встроенный flash, полный путь к которому
/storege/emulated/0/NavitelContent/Speedcams/. Если хочется писать в
/storage/extSdCard/NavitelContent/Speedcams/, то в настройках в разделе "Путь для сохранения файла" надо записать
../../extSdCard/NavitelContent/Speedcams/.
Для Android 4.4 без root такой финт не получится, потому что писать в /storage/ext_sd/Android/data/com.navitel/files/NavitelContent/Speedcams/ может только сам Navitel, а данная программа не может. Чтобы разрешить туда запись, надо получить root и разрешить свободную запись на SD.
